Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=a·2ⁿ+b,其中a、b为常数.

(1)证明当b=0时，{a_n}不是等比数列；

(2)若{a_n}是等比数列且=-1,求a、b.

Answer 1

(1)证明:当b=0时，S_n=a·2ⁿ.

    a₁=S₁=2a,

    a₁+a₂=S₂=4a,∴a₂=2a.

    a₁+a₂+a₃=S₃=8a,∴a₃=4a.

    当a=0时，{a_n}显然不是等比数列；

    当a≠0时，a₂²≠a₁a₃,{a_n}也不是等比数列.

    ∴当b=0时，{a_n}不是等比数列.

(2)解:若{a_n}是等比数列,则a₂²=a₁a₃.

    ∵a₁=S₁=2a+b,

    a₁+a₂=S₂=4a+ba₂=2a,a₁+a₂+a₃=S₃=8a+ba₃=4a,

    由a₂²=a₁a₃a+b=0.

    当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(a·2ⁿ+b)-(a·2^n-1+b)=a·2^n-1.

    ===-1.

    ∴b=-2,a=2.