Question

如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

Answer 1

（1）解析：如图，作PO⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.?

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB.?

∵PA=PD，∴OA=OD.?

于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.?

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，?

∴∠PEB=120°,∠PEO=60°.?

由已知可求得PE=，?

∴PO=PE·sin60°=,?

即点P到平面ABCD的距离为.?

（2）解法一:如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.?

P（0，0，），?B（0，，0）?，PB中点G的坐标为（0，，），连结AG.?

又知A（1，，0），C（-2，，0）,?

由此得到GA=（1，-，-），?

=（0，，-），=（-2，0，0）.?

于是有，，?

∴GA⊥PB，BC⊥PB.GA，BC的夹角θ等于所求二面角的平面角.?

于是cosθ=，?

∴所求二面角的大小为π-arccos.??

解法二:如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB.?

∴∠AGF是所求二面角的平面角.?

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.?

又∵PE=BE，?

∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.?

在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=.?

在Rt△GAE中，AE=AD=1，?

于是tan∠GAE=,?

又∠AGF=π-∠GAE,?

∴所求二面角的大小为π-arctan.