题目内容
已知函数f(x)=
，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5
（1）求实数p，q的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．
| px2+2 | x-q |
（1）求实数p，q的值；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．
分析：（1）利用条件f（x）+f（-x）=0和f（2）=5建立方程，即可求实数p，q的值；
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
解答：解：（1）∵函数f(x)=
，对定义域中的所有x都满足f（x）+f（-x）=0，f（2）=5，
∴f（2）=
=5，
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得
=-
=
，
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函数f(x)=
=
=2x+
，
f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
证明：设x2＞x1≥1，
则f（x2）-f（x1）=2(x2-x1)+
=2(x2-x1)•
，
∵x2＞x1≥1，
∴x2-x1＞0，x2x1＞1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
| px2+2 |
| x-q |
∴f（2）=
| 4p+2 |
| 2-q |
即4p+2=10-5q，
∴4p+5q=8，
由f（x）+f（-x）=0得
| px2+2 |
| x-q |
| px2+2 |
| -x-q |
| px2+2 |
| x+q |
∴-q=q，解得q=0，
∴p=2．
（2）∵p=2，q=0，
∴函数f(x)=
| px2+2 |
| x-q |
| 2x2+2 |
| x |
| 2 |
| x |
f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
证明：设x2＞x1≥1，
则f（x2）-f（x1）=2(x2-x1)+
| 2(x1-x2) |
| x1x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x2＞x1≥1，
∴x2-x1＞0，x2x1＞1，
∴f（x2）-f（x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是证明函数单调性的基本方法．
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