Question

已知：函数f(x)=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx（a＞1）
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数y=f（x）在x=2取极值，求函数y=f（x）在区间[e^-2，e²]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用f^′（x）＞0即可求出其单调递增区间；
（2）利用函数取得极值点的条件先求出a的值，再利用导数得出其单调区间、极值，进而即可求出其最值．

解答：解：（1）函数f（x）定义域为x＞0，
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

[x-(a-1)](x-1)

x

．
由f'（x）＞0且x＞0
得

x＞0 x2-ax+a-1＞0

即

x＞0 [x-(a+1)](x-1)＞0

（i）当a-1=1即a=2时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（ii）当a＞2时，x＞a-1或0＜x＜1，∴f（x）在（a-1，+∞），（0，1）上为增函数；
（iii）当1＜a＜2时，0＜x＜a-1或x＞1，∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上为增函数．
综上可知：f（x）的单调区间为：当a=2时，（0，+∞）
当a＞2时，（a-1，+∞），（0，1）
当1＜a＜2时，（0，a-1），（1，+∞）．
（2）x=2是f（x）极值点，∴f'（2）=0，即2-a+

a-1

2

=0，解得a=3．
∴f(x)=

1

2

x2-3x+2lnx（x＞0），f′(x)=

(x-1)(x-2)

x

．
∵

1

e2

＜1＜2＜e2，且当2＜x＜e²时，f^′（x）＞0；当1＜x＜2时，f^′（x）＜0；当

1

e2

＜x＜1时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间[

1

e2

，1)及（2，e²]上单调递增，在区间（1，2）上单调递减．
∴f（x）在[

1

e2

，e2]最大值应在x=1和x=e²处取得
又f(1)=-

5

2

，f(e2)=

e4

2

-3e2+4=

(e2-2)(e2-4)

2

＞-

5

2

，
∴f(x)max=

(e2-2)(e2-4)

2

．

点评：熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数的单调性与极值是解题的关键．