Question

已知实数a，b，c∈[0，1]，则a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：构造成一次函数f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），后计算端点f（0）和f（1），计算f（0）与f（1）即可知，所有的端点值均不大于1．从而得出a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值．

解答：解：用构造函数法，
选取a为变量，令 f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）是关于a的一次函数，
令a=1，得f（1）=1-b+b-bc=1-bc≤1；
令a=0 得f（0）=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-（1-b）（1-c）+1≤1
由于一次函数最大值在端点0或1处取得，而f（0），f（1）均≤1，
所以 在[0，1]上，f（a）≤1，即a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）≤1．
则a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值为1．取得最大值的条件是a，b，c中一个为0，一个为1，
另一个可以取[0，1]内的任意一个数．
故选B．

点评：本题主要考查了函数的性质，考查了不等式的性质与应用，解答的关键是构造一次函数f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），利用一次函数的性质解决最值问题，属于中档题．