Question

已知f(x)＝(x²＋ax＋a)e^－x(a≤2，x∈R)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：(1)当a＝1时，f(x)＝(x²＋x＋1)e^－x；f′(x)＝e^－x(－x²＋x)．

当f′(x)＞0时，0＜x＜1.

当f′(x)＜0时，x＞1或x＜0.

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，

单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．

(2)f′(x)＝(2x＋a)e^－x－e^－x(x²＋ax＋a)＝e^－x[－x²＋(2－a)x]．

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a，列表如下：

x	(－∞，0)	0	(0,2－a)	2－a	(2－a，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘	极小	↗	极大	↘

由表可知f(x)_极大＝f(2－a)＝(4－a)e^a－2.

设g(a)＝(4－a)e^a－2，g′(a)＝(3－a)e^a－2＞0，

∴g(a)在(－∞，2)上是增函数，

∴g(a)≤g(2)＝2＜3

∴(4－a)e^a－2≠3

∴不存在实数a使f(x)最大值为3.