题目内容
已知双曲线
的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是
，且双曲线过点
.
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线
过点
，其方向向量为
，令向量
满足
.双曲线的右支上是否存在唯一一点
，使得
. 若存在，求出对应的
值和的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）设双曲线
的方程为
，将点
代入可得
，
双曲线的方程为
.
（2）依题意，直线 
的方程为
.设
是双曲线右支上满足
的点，结合 
，得
，
即点到直线的距离
若
，则直线在双曲线右支的上方，故
，从而
. 又因为 
，所以
.
此时 
，由
得 
，此时方程有唯一解 
，
则
综上，符合条件的
值为 ，此时.
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