Question

函数f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）（x∈R）．
（1）求f（x）的周期；
（2）若f（α）=

2 10

5

，α∈（0，

π

2

），求tan（α+

π

4

）的值．

Answer 1

（1）由题意知，f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

)=sin

x

2

+cos

x

2

=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
∴f（x）的周期T=

2π

1 2

=4π（4分）
（2）由f（a）=

2 10

5

代入解析式得，sin

α

2

+cos

α

2

=

2 10

5

，
两边平方得：1+sinα=

8

5

，则sinα=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴cosα=

1-sin2α

=

1- 9 25

=

4

5

，（8分）
∴tanα=

sinα

cosα

=

3

4

，
∴tan(α+

π

4

)=

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=

3 4 +1

1- 3 4

=7（12分）