题目内容
给出定义：若m-
＜x≤m+
(m∈Z)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断．
①函数y=f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间(-
，
]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
(k∈Z)对称；⑤函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称．
以上判断中正确的结论有
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①函数y=f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间(-
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④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
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以上判断中正确的结论有
①②④⑤
①②④⑤
．（写出所有正确结论的序号）分析：①通过判断f（-x）是否等于f（x），来判断函数的奇偶性．②利用周期性的定义，若函数满足f（x+T）=f（x），则函数为周期是T的周期函数．③可举出不成立的情况，说明函数y=f（x）在区间(-
，
]上不是单调递增．④⑤利用若函数满足f（a-x）=f（x），则函数对称轴为x=
，来判断函数的对称性．
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| a-x+x |
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解答：解：∵m-
＜x≤m+
(m∈Z)，∴-m-
＜-x≤-m+
(m∈Z)
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正确
∵m-
＜x≤m+
(m∈Z)，∴m+1-
＜x+1≤m+1+
(m∈Z)
{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函数f（x）是周期函数，∴②正确．
∵
∈(-
，
]，
∈(-
，
]，且{
}=0，{
}=0
不满足区间(-
，
]上单调递增，∴③错误
∵m-
＜x≤m+
(m∈Z)，∴2k+1-m-
＜2k+1-x≤2k+1-m+
(m∈Z)
∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
(k∈Z)对称
∴④正确
∵m-
＜x≤m+
(m∈Z)，∴2k-m-
＜2k-x≤2k-m+
(m∈Z)
∴{2k-x}=2k-m
∴f（2k-x）=|2k-x-{2k-x}|=|2k-x-（2k-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称，⑤正确
故答案为①②④⑤
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∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
∴f（-x）=f（x）∴①正确
∵m-
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{x+1}=m+1
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
∴函数f（x）是周期函数，∴②正确．
∵
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不满足区间(-
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∵m-
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∴{2k+1-x}=2k+1-m
∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
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∴④正确
∵m-
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∴{2k-x}=2k-m
∴f（2k-x）=|2k-x-{2k-x}|=|2k-x-（2k-m）|=|x-{x}|=f（x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称，⑤正确
故答案为①②④⑤
点评：本题主要考查了函数奇偶性，周期性，单调性，对称性的判断，属于性质的综合．
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