Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

1

3

（1）求sin²

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若a=

5

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据诱导公式和二倍角的余弦公式，将原式化简得到关于cosA的式子，代入已知数据即可得到所求；
（2）由余弦定理，得到b²+c²=

2

3

bc+5，再结合基本不等式化简整理，即可得到当且仅当b=c时，bc的最大值为

15

4

．

解答：解：（1）∵sin²

B+C

2

=

1

2

[1-cos（B+C）]=

1

2

（1+cosA）
∴sin²

B+C

2

+cos2A=

1

2

（1+cosA）+（2cos²A-1）=

1

2

（1+

1

3

）+（

2

9

-1）=-

1

9

；
（2）∵a=

5

，∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=5
即b²+c²=

2

3

bc+5
∵b²+c²≥2bc，
∴

2

3

bc+5≥2bc，解得bc≤

15

4

，当且仅当b=c时取等号．
因此，当且仅当b=c=

15

2

时，bc的最大值为

15

4

．

点评：本题给出三角形一个角的余弦值，在已知这角对边的情况下求另两条边积的最大值，着重考查了三角恒等变换、余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．