Question

（2013•凉山州二模）图1是边长为1的菱形，∠DAB=60°，现沿BD将△ABD翻折起，得四面体A′-BDC（图2），若二面角A′-BD-C的平面角为α（0＜a＜π），给出以下四个命题：
①BD⊥A'C；
②A'C的长的范围是（0，

3

）；
③当A'B⊥DC时，则cosα=

1

3

；
④当四面体A'-BDC体积最大时，A'-BDC的外接球的表面积是

5π

3

．
其中真命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①取BD的中点E，连结A'E，EC，如图，则A'E⊥BD，EC⊥BD，利用线面垂直的判定得出BD⊥平面A'EC，从而得出①正确；②当α→0时，A'C→0，当α→π时，A'C→AC=

3

，从而得出A'C的长的范围；③当A'B⊥DC时，此时四面体A′-BDC是一个正四面体，设顶点A'在底面上的射影是Q，利用解直角三角形可求出二面角A′-BD-C的平面角的余弦值；④当四面体A'-BDC体积最大时，侧面A'BD⊥底面BCD，过底面BCD的中心Q作底面的垂线与侧面A'BD的中心作侧面A'BD的垂线的交点O即为A'-BDC的外接球的球心，利用直角三角形可得出A'-BDC的外接球的半径，从而得出答案．

解答：解：①取BD的中点E，连结A'E，EC，如图，则A'E⊥BD，EC⊥BD，∴BD⊥平面A'EC，A'C?平面A'EC，
∴BD⊥A'C；①正确；
②当α→0时，A'C→0，当α→π时，A'C→AC=

3

，
∴A'C的长的范围是（0，

3

）；正确；
③当A'B⊥DC时，此时四面体A′-BDC是一个正四面体，设顶点A'在底面上的射影是Q，则Q是三角形BCD的中心，
在直角三角形A'EQ中，则cosα=cos∠A′EC=

EQ

A′E

=

EQ

CE

=

1

3

，
∴cosα=

1

3

；③正确；
④当四面体A'-BDC体积最大时，侧面A'BD⊥底面BCD，如图，过底面BCD的中心Q作底面的垂线与侧面A'BD的中心作侧面A'BD的垂线的交点O即为A'-BDC的外接球的球心，
从而R²=OC²=OQ²+CQ²=(

3

2

×

1

3

)2+(

3

3

)2=

5

12

，
A'-BDC的外接球的表面积是4πR²=

5π

3

．正确．
故选D．

点评：本题主要考查点到面的距离计算以及折叠问题．在解决折叠问题时，一定要注意分析出哪些量发生了变化，又有哪些量没有发生变化．