Question

（本题满分15分）已知圆N：和抛物线C：，圆的切线与抛物线C交于不同的两点A，B，
（1）当直线的斜率为1时，求线段AB的长；
（2）设点M和点N关于直线对称，问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：因为圆N：，
所以圆心N为（-2,0），半径，              ………………… 1分
设，，
（1）当直线的斜率为1时，设的方程为即
因为直线是圆N的切线，所以，解得或（舍）
此时直线的方程为，                      ………………… 3分
由 消去得，
所以，，，                ………………… 4分

所以弦长              …………………6分
（2）①设直线的方程为即（）
因为直线是圆N的切线，所以，
得    ………①           ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即且，           
，.                     ………………… 9分
因为点M和点N关于直线对称，所以点M为
所以，，        
因为，所以+    …… 10分
将A，B在直线上代入化简得
     ……… 11分
代入，得
 
化简得      ………②           ………… 12分
①+②得
即，解得或 
当时，代入①解得，满足条件且，
此时直线的方程为；
当时，代入①整理得 ，无解.    …………… 13分
②  当直线的斜率不存在时，
因为直线是圆N的切线，所以的方程为，
则得，，
即
由①得：
=
当直线的斜率不存在时不成立.               ……………… 14分
综上所述，存在满足条件的直线，其方程为     ……………… 15分
另解：
（2）设直线的方程为即（必存在）
因为直线是圆N的切线，所以，
得    ………①           ……………… 8分
由 消去得 ，
所以即              ………………… 9分
，.                 ………………… 10分
因为点M和点N关于直线对称，所以点M为
所以，，        
因为，所以+    …… 11分
将A，B在直线上代入化简得
     ……… 12分
代入，得

化简得      ………②          ………… 13分
①+②得
即，解得或 …… 14分
当时，代入①解得，满足条件；
当时，代入①整理得 ，无解.
综上所述，存在满足条件的直线，其方程为     ……………… 15分

略