Question

5．若直线y=x+b与曲线x²-4x+y²-6y+9=0（y≤3）有公共点，则b的取值范围是（　　）

• A． [-1，1+2$\sqrt{2}$]
• B． [1-2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$]
• C． [1-2$\sqrt{2}$，3]
• D． [1-$\sqrt{2}$，3]

Answer 1

分析 曲线表示以（2，3）为圆心、半径等于2的半圆，当半圆和直线y=x+b相切时，求得b的值；当直线y=x+b经过点（0，3）时，求得b的值，数形结合求得b的范围．

解答 解：曲线x²-4x+y²-6y+9=0，即（x-2）²+（y-3）² =4 （y≤3），
表示以（2，3）为圆心、半径等于2的半圆，
如图所示：当半圆和直线y=x+b相切时，由$\frac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}$=2，
求得b=1-2$\sqrt{2}$，或b=1+2$\sqrt{2}$（舍去）．
当直线y=x+b经过点（0，3）时，求得b=3．
综上可得，b的取值范围是[1-2$\sqrt{2}$，3]，
故选：C．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．