题目内容
已知f（x）=（x2+1）（x+a）
（1）当x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于1，求a的取值范围．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，求a的取值范围．
（1）当x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于1，求a的取值范围．
（2）若y=f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，求a的取值范围．
（1）x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于1，
等价于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x2+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故实数a 的取值范围为[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x2+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有两个零点即可，
所以有
，解得a＜-
．
故a的取值范围为：（-∞，-
）．
等价于f′（x）＞1在x∈（0，+∞）上恒成立，即3x2+2ax+1＞1，也即3x+2a＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以3×0+2a≥0，解得a≥0，
故实数a 的取值范围为[0，+∞）．
（2）f′（x）=3x2+2ax+1，易知f′（0）=1＞0，
要使f（x）在x∈（0，+∞）上有极值点，只需y=f′（x）在（0，+∞）上有两个零点即可，
所以有
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故a的取值范围为：（-∞，-
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