Question

已知函数和函数，其中为参数，且满足．

（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；

（2）若方程在恒有唯一解，求实数的取值范围；

（3）若对任意，均存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：(1)m＝2时，g(x)＝ …………………………………………………1分

函数g(x)的单调增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，单调减区间为(1,2)． ……………4分

(2)由f(x)＝2^|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解，

得|x－m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)恒有唯一解．

即，解得或，由题意知2m＝0或2m<－4，

即m<－2或m＝0．

综上，m的取值范围是m<－2或m＝0．……………………………………………………8分

(3)f(x)＝

则f(x)的值域应是g(x)的值域的子集．………………………………………………………10分

①m≤4时，f(x)在(－∞，m]上单调递减，[m,4]上单调递增，故f(x)≥f(m)＝1．

g(x)在[4，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(4)＝8－2m，所以8－2m≤1，

即≤m≤4． ………………………………………………………………………………12分

②当4<m≤8时，f(x)在(－∞，4]上单调递减，故f(x)≥f(4)＝2^m－4，

g(x)在[4，m]上单调递减，[m，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)＝2m－8，

所以2^m－4≥2m－8，解得4<m≤5或6≤m≤8．    …………………………………13分

综上，m的取值范围是．  ……………………………………………………14分