Question

请利用排序不等式证明G_n≤A_n.

（一般地，对于n个正数a₁,a₂,…,a_n；几何平均G_n=，算术平均A_n=）

Answer 1

思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理与性质，及一些有用的式子.

证明：令b_i=(i=1,2, …,n)，则b₁b₂…b_n=1，故可取x₁,x₂, …,x_n＞0，使得

b₁=,b₂=, …,b_n-1=,b_n=.由排序不等式有：

b₁+b₂+…+b_n

=（乱序和）

≥x₁·+x₂·+…+x_n·（倒序和）

=n，

∴≥n,即≥G_n.

方法归纳

    对 …，各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G_n≤A_n.