Question

已知数列{a_n}的前n项和s_n=n²，数列{b_n}中b₁=2，b_n=2b_n-1（n≥2）
（1）求a_n，b_n；（2）若cn=

an，n为奇数 bn，n为偶数

，求{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题设知 an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

，然后根据b_n=2b_n-1（n≥2），由此可知b_n为等比数列，可求出所求．
（2）讨论n的奇偶分别进行求和，当n为偶数时，利用分组求和法进行求和，当n为奇函数时，则n-1为偶数，根据T_n=T_n-1+a_n进行求解即可．

解答：解：（1）an=

S1=1                 (n=1) Sn-Sn-1=2n-1 (n≥2)

（2分）
当n=1时，2n-1=1，所以a_n=2n-1（n≥1）（3分）
∵b_n=2b_n-1 n≥2（4分）
∴b_n成等比数列，且首项b₁=2，公比q=2（5分）
∴b_n=2•2^n-1，∴b_n=2ⁿ（6分）
（2）当n为偶数时
T_n=[1+5+…（2n-3）]+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=

n2-n

2

+

4(2n-1)

3

当n为奇函数时，则n-1为偶数
T_n=T_n-1+a_n=

(n-1)2-(n-1)

2

+

4(2n-1-1)

3

+2n-1
=

n2+n

2

+

4(2n-1-1)

3

综上，T_n=

n2+n 2 + 4(2n-1-1) 3 ，(n为奇函数) n2-n 2 + 4(2n-1) 3 ，(n为偶函数)

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列求和，解题时要注意公式的灵活运用，特别是分类讨论思想的合理运用，属于中档题．