题目内容

若椭圆
x2
m2
+
y2
m2-25
=1上至少存在一点P，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m的取值范围为
( 5，5
2
 ]
( 5，5
2
 ]
．
分析：根椭圆
x2
m2
+
y2
m2-25
=1上至少存在一点P，使得它与两焦点连线互相垂直，结合椭圆的性质得：∠F1AF2≥90°，即OA≤
2
2
AF2，从而得出正实数m的取值范围．
解答：解：如图，∵椭圆
x2
m2
+
y2
m2-25
=1上至少存在一点P，使得它与两焦点连线互相垂直，
设椭圆的上顶点为A，
结合椭圆的性质得：∠F1AF2≥90°，
∴∠OAF2≥45°，
即OA≤
2
2
AF2，⇒m2-25≤
1
2
m2，⇒m≤5
2
，
又m＞5，
则正实数m的取值范围为( 5，5
2
 ]
故答案为：( 5，5
2
 ]．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和数形结合能力．
练习册系列答案
相关题目
已知m＞1，直线l：x-my-
m2
2
=0，椭圆C：
x2
m2
+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
x2m2
+y2=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）
（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；
（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；
（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：
x2
m2
+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．
若椭圆C：
x2
m2
+
y2
n2
=1过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x2-y2=-1有相同的焦点，则该椭圆的方程是（　　）
已知m＞1，直线l：x-my-
m
2
2=0，椭圆C：
x2
m2
+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左右焦点．设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

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