Question

若函数对任意的实数，，均有，则称函数

是区间上的“平缓函数”，

(1) 判断和是不是实数集上的“平缓函数”，并说明理由；

(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设,

求证： .

Answer 1

解：（1）是上的“平缓函数，但不是区间的“平缓函数”；

设，则,则是实数集上的增函数，

不妨设，则，即，

则，   ①

又也是上的增函数，则，

即，      ②

由  ①、 ②得   

因此  ，对的实数都成立，

当时，同理有成立

又当时，不等式，

故 对任意的实数，均 有

因此 是上的“平缓函数.

由于

取，，则，

因此， 不是区间的“平缓函数”.

（2）由（1）得：是上的“平缓函数，则

， 所以 ，

而，

所以

而

所以 ，

则

因此 .