Question

已知函数f(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

（e是自然对数的底数），g（x）=ax（a是实数）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导数，通过导数值的符号确定函数的单调增区间与函数的单调减区间．
（Ⅱ）若在[2，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，求出否命题的范围即可，利用函数的导数确定函数的最小值大于0时，a的取值范围，然后求出原命题的a的范围．

解答：解：（I）∵f(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

∴f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

由f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

＞0，解得x＜0或x＞1
由f′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

＜0，解得0＜x＜1
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，0）和（1，+∞）
函数f（x）的单调递减区间为：（0，1）
（Ⅱ）考察反面情况：?x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立
即h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
首先h(2)=

e2

7

-

3e2

49

-2a≥0，即a≤

2e2

49

其次，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

-a考虑M(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

∵M′(x)=

ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]

(x2+x+1)4

＞0在x∈[2，+∞）上恒成立
∴M(x)≥M(2)=

2e2

49

∴当a≤

2e2

49

时，h′(x)=

ex(x2-x)

(x2+x+1)2

-a≥

2e2

49

-a≥0
∴h（x）在x∈[2，+∞）上递增，又h（2）≥0
∴h(x)=

ex

x2+x+1

-

3e2

49

-ax≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，故a≤

2e2

49

∴原题的结论为：a＞

2e2

49

点评：本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题，注意否命题的应用．