题目内容
已知直线l：2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆C：x2+y2﹣6x+12y+20=0．
（1）m∈R时，证明l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．
（1）m∈R时，证明l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．
解：（1）将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，
可得出直线l恒过A（4，﹣3），
将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，
∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=
=
＜5=r，
∴点A在圆内，则l与C总相交；
（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为
=3，
∴此时l的斜率为﹣
，
又2mx﹣y﹣8m﹣3=0变形得：y=2mx﹣8m﹣3，
即斜率为2m，
∴2m=﹣
，即m=﹣
，
此时圆心距d=|AC|=
，
又半径r=5，
l被C截得的弦长为2
=2
．
可得出直线l恒过A（4，﹣3），
将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，
∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=
=＜5=r，∴点A在圆内，则l与C总相交；
（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为
=3，∴此时l的斜率为﹣
，又2mx﹣y﹣8m﹣3=0变形得：y=2mx﹣8m﹣3，
即斜率为2m，
∴2m=﹣
，即m=﹣，此时圆心距d=|AC|=
，又半径r=5，
l被C截得的弦长为2
=2．
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