Question

已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2 n

+xn-a．（n∈N^*，a为常数）
（1）若a=

1

4

，求证：数列{lg(xn+

1

2

)}是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)；
（3）若a=0，试问代数式

2011

n=1

1

xn+1

的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，两边同加

1

2

，再取常用对数，即可证得数列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

为首项，以2为公比的等比数列；
（2）确定数列的通项，问题转化为(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需证2ⁿ≥2n．证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，当n≥3时，利用二项式定理，进行放缩，即可证得结论；证法二：用数学归纳法证明，关键是第二步的证明；
（3）当a=0时，xn+1=

x

2 n

+xn=xn(xn+1)，取倒数可得 

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，叠加求和，确定3-

1

x2012

的范围即可．

解答：证明：（1）∵xn+1=

x

2 n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2（1分）
∵x1=

1

3

，∴xn+

1

2

＞0，∴lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)（3分）
∴数列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

为首项，以2为公比的等比数列（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)•2n-1，化简得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要证(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需证2ⁿ≥2n，（6分）
证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，当n≥3时，2n=(1+1)n=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

（7分）≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（8分）
∴2ⁿ≥2n对n∈N^*都成立，
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)（9分）
证法二：用数学归纳法证明，
①当n=1时，结论显然成立；（5分）
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2^k≥2k，
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），（7分）
∴当n=k+1时结论也成立
综合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，对n∈N^*都成立（9分）
（3）当a=0时，xn+1=

x

2 n

+xn=xn(xn+1)
∴

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

，即 

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，
∴

2011

n=1

1

xn+1

=(

1

x1

-

1

x2

)+(

1

x2

-

1

x3

)+…+(

1

x2011

-

1

x2012

)=

1

x1

-

1

x2012

=3-

1

x2012

（11分）
又x1=

1

3

，x2=

1

3

×

4

3

=

4

9

，x3=

4

9

×

13

9

=

52

81

，x4=

52

81

×

133

81

＞1
∵xn+1-xn=xn2≥0，∴{x_n}单调递增，
∴0＜

1

x2012

＜1，∴2＜3-

1

x2012

＜3
即

2011

n=1

1

xn+1

的值在2与3之间（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查裂项法求和，利用裂项法求和是关键．