Question

已知函数f（x）=lg（

1-x

1+x

）
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）；
（3）若f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1-ab

）=2，求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）由函数解析式可得

1-x

1+x

＞0，求得函数的定义域关于原点对称．再根据f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）分别求得f（x）+f（y）=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

，f（

x+y

1+xy

）=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

，可得要证的等式成立．
（3）由条件利用（2）的结论可得 f（a）+f（b）=1，f（a）-f（b）=2，由此求得 f（a） 和f（b）的值．

解答：解：（1）由函数f（x）=lg（

1-x

1+x

），可得

1-x

1+x

＞0，即

x-1

1+x

＜0，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1），关于原点对称．
再根据f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）证明：f（x）+f（y）=lg

1-x

1+x

+lg

1-y

1+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

，
而 f（

x+y

1+xy

）=lg

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=lg

1+xy-x-y

1+xy+x+y

=lg

(1-x)(1-y)

(1+x)(1+y)

，
∴f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）成立．
（3）若f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1-ab

）=2，则由（2）可得 f（a）+f（b）=1，f（a）-f（b）=2，
解得  f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，证明恒等式，对数的运算性质应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．