Question

给出函数f(x)=

x2

x2+1

的四个性质：
①f（x）在R上是增函数；
②f（x）的值域是[0，1）；
③f（x）的图象关于y轴对称；
④f（x）存在最大值．
上述四个性质中所有正确结论的序号是

③

．

Answer 1

分析：利用导函数可以确定函数的单调性，由于f′(x)=

2x

(x2+1)2

可判断①错；因为定义域为R，所以可判断②④错；利用偶函数的定义，可以得到函数为偶函数，可判断③正确，由此可以得出结论．

解答：解：由题意，f′(x)=

2x

(x2+1)2

当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数，故①错；
由于当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数，故②④错；
由于f(-x)=

(-x)2

(-x)2+1

=f(x)，∴f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故③正确；
故答案为③

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，用好导数，偶函数的定义时解题的关键．