Question

定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x₁、x₂∈R，都有f()≤［f(x₁)+f(x₂)］，则称函数f(x)是R上的下凸函数.已知二次函数f(x)=ax²+x(a∈R,a≠0).

（1）求证：当a＞0时，函数f(x)是下凸函数;

（2）如果x∈［0,1］时，|f(x)|≤1，试求实数a的范围.

Answer 1

（1）证明：对任意x₁、x₂∈R,∵a＞0,

∴［f(x₁)+f(x₂)］-2f()=ax₁²+x₁+ax₂²+x₂-2［a()²+）］

=ax₁²+ax₂²-a(x₁²+x₂²+2x₁x₂)=a(x₁-x₂)²≥0.

∴f()≤［f(x₁)+f(x₂)］.

∴函数f(x)是下凸函数.

(2)解：由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax²+x≤1.      (*)

当x=0时，a∈R;当x∈(0,1)时，(*)式即恒成立,即

恒成立.

∵x∈(0,1],∴≥1.

∴当=1时，-(+)²+取得最大值-2；当=1时，(-)²-取得最小值0.

∴-2≤a≤0,结合a≠0，得-2≤a＜0.

综上，a的范围是［-2,0).