Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=，E是PB上任意一点

（1）求证：AC⊥DE；

（2）当△AEC面积的最小值是9时，求PD的长

（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC

        ∴AC⊥面PBD

∴AC⊥DE

（2）记AC与BD交点为F，由（1）知，

AC⊥EF

当△AEC面积的最小值是9时，

EF取得最小值3

在△PBD中，当FE⊥PB时，EF最小，此时EB=

由△BEF∽△BDP得,解得

(3)以点F为坐标原点，FB，FC所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，

  则

   

    而

   

     而面PAB的法向量

     由已知得，解得

存在靠近点C的三等分点G满足题意