Question

方程x²+x-1=xex2-1+(x2-1)ex的解集为A（x∈R）则A中所有元素的平方和等于（　　）

A．0

B．l

C．2

D．4

Answer 1

分析：先观察、变形、估测方程的实数根，然后通过分类讨论加以证明即可．

解答：解：将方程x²+x-l=xex2-1+(x2-1)ex变为x2-1=x(ex2-1-1)+(x2-1)ex，可知x=±1，0时满足方程，
∴x=±1，0是方程的解．
下面证明此方程的解只有±1，0．
证明：①当x＞1时，把方程变为x×

ex2-1-1

x2-1

+ex-1=0，
∵x＞1，∴ex2-1＞1，x²-1＞0，e^x-1＞e-1＞0，故左边＞0，即方程没有大于1的解；
②当x＜-1时，把方程变为1-x×

ex2-1-1

x2-1

=e^x，
∵x＜-1，∴ex2-1＞1，x²-1＞0，故左边＞1，而右边=e^x＜e-1=

1

e

＜1，∴左边≠右边，即方程没有小于-1的解；
③当0＜x＜1时，把方程变为x×

ex2-1-1

x2-1

+ex-1=0，
∵0＜x＜1，∴ex2-1＜1，x²-1＜0，e^x＞1，∴左边＞0，即方程没有大于0而小于1的解；
④当-1＜x＜0时，把方程变为1-x×

ex2-1-1

x2-1

=e^x，
∵-1＜x＜0，∴ex2-1＜1，x²-1＜0，e^x＜1，∴左边＞1，右边＜1，即方程没有大-1而小于0的解．
综上可知：此方程只有±1，0三个实数根．
∴A={-1，1，0}．
∴则A中所有元素的平方和=1²+（-1）²+0=2．
故答案为C．

点评：本题培养学生的观察、变形、估测能力，同时注意分类讨论的思想应用．本题较好的培养了学生的灵活解决问题的能力．