Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l与该抛物线分别交于A、B两点（点A在第一象限），若

AF

=3

FB

，则k=

3

．

Answer 1

分析：作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=

1

2

，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值．

解答：解：作出抛物线的准线l：x=-

p

2

，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E
∵

AF

=3

FB

，∴设

|FB|

=m，则

|AF|

=3m，（m）
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得

|DB|

=

|FB|

=m，

|AC|

=

|AF|

=3m
∴

|AE|

=

|AC|

-

|CE|

=

|AC|

-

|DB|

=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

=

1

2

，得∠BAE=60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，
得直线AB的斜率k=tan60°=

3

故答案为：

3

点评：本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．