Question

定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₀₈=

2009

．

Answer 1

分析：先根据题意利用夹逼原理求出f（x+1）=f（x）+1，再由a_n=f（n）（n∈N^*），f（x+1）=f（x）+1知道数列{a_n}的递推关系，又由f（1）=2，可以判断数列{a_n}是等差数列，通过等差数列的定义，求出其通项公式，从而求得a₂₀₀₈的值．

解答：解：∵对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立
∴f（x）+4≤f（x+2）+2≤f（x+4）≤f（x+1）+3≤f（x+3）+1≤f（x）+4
即f（x）+1≤f（x+1）≤f（x）+1
∴f（x+1）=f（x）+1
：∵a_n=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴a_n+1=a_n+1，又知a₁=f（1）=2，所以有等差数列的定义，
可知数列{a_n}是以首项为2，公差为1的等差数列．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴a₂₀₀₈=2009．
故答案为：2009．

点评：此题考查函数与数列的关系，及等差数列的定义，同时考查了不等式的夹逼法则，是一道综合题，有一定的难度．