Question

【题目】已知圆C的圆心坐标且与线y=3x+4相切，

（1）求圆C的方程；

（2）设直线与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x-2）2+y2=10（2）y=-x+1+或y=-x+1-

【解析】

（1）由直线与圆相切得，圆心到直线的距离即为半径，从而得解；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），进而通过直线与圆联立得到2x2-（4+2m）x+m2-6=0，由韦达定理可得MN中点H的坐标为（，），假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=|MN|，进而由垂径定理及坐标表示距离列方程求解即可.

（1）根据题意，

所以圆的标准方程为：（x-2）2+y2=10；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y=-x+m与圆C的交点，

联立y=-x+m与（x-2）2+y2=10可得：2x2-（4+2m）x+m2-6=0，

则有x1+x2=m+2，x1x2=，

则MN中点H的坐标为（，），

假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|=|MN|，

圆心C到MN的距离d=，

则有|MN|=2=2，

又由|OH|=|MN|，

则有（）2+（）2=10-，

解可得m=1±，

经检验，m=1±时，直线与圆相交，符合题意；

故直线MN的方程为：y=-x+1+或y=-x+1-．