题目内容

如图，已知椭圆 $数学公式$ 的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且 $数学公式$ ，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

解：（Ⅰ）将圆M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化为标准方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圆M的圆心为M（3，1），半径 $\text{[math]}$ ．（1分）
由A（0，1）， $\text{[math]}$
得直线 $\text{[math]}$ ，即x+cy-c=0，（2分）
由直线AF与圆M相切，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）．（4分）
当 $\text{[math]}$ 时，a²=c²+1=3，故椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．（5分）

（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，（6分）
由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为 $\text{[math]}$ （7分）
将y=kx+1代入椭圆C的方程 $\text{[math]}$ 并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或 $\text{[math]}$ ，因此P的坐标为 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ -（9分）
将上式中的k换成 $\text{[math]}$ ，得Q $\text{[math]}$ ．-（10分）
直线l的方程为
$\text{[math]}$ （11分）
化简得直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，（13分）
因此直线l过定点 $\text{[math]}$ （14分）
分析：（Ⅰ）由题设知圆心M（3，1），半径 $\text{[math]}$ ．由A（0，1）， $\text{[math]}$ 得直线 $\text{[math]}$ ，由直线AF与圆M相切，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为 $\text{[math]}$ ．将y=kx+1代入椭圆C的方程 $\text{[math]}$ 并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，解得x=0或 $\text{[math]}$ ，因此P的坐标为 $\text{[math]}$ ，由此能证明直线l过定点，并能求出该定点N的坐标．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．