Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，

AB

∥

OM

．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，作图如图．由k_AB=k_OM可求得b=c，从而可求得椭圆的离心率．
（2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，在△F₁QF₂中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，可以证出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），结合（1）a²=2c²，可以证出cosθ≥0，从而得到0＜θ≤

π

2

．最后综合，得到θ∈[0，

π

2

]，即为∠F₁QF₂的取值范围．

解答：解：依题意，作图如图：
（1）设F₁（-c，0），则x_M=-c，y_M=

b2

a

，
∴k_OM=-

b2

ac

．
∵k_AB=-

b

a

，

OM

∥

AB

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

，
∴b=c，故e=

c

a

=

2

2

．
（1）设|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
cos θ=

r12+ r 2 2 -4c2

2r1r2

=

(r1+r2)2-2r1r2-4c2

2r1r2

=

2b2

r1r2

-1≥

2b2

( r1+r2 2 )2

-1=0，
当且仅当r₁=r₂时，cos θ=0，
∴θ∈[0，

π

2

]．

点评：本题考查椭圆的简单性质，由k_AB=k_OM求得b=c是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．