Question

如图,已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直,AB=,DF=1,P是线段EF上的动点.

(1)若点O为正方形ABCD的中心,求直线OP与平面ABCD所成角的最大值;

(2)当点P为EF的中点时,求直线BP与FA所成角的正弦值;

(3)求二面角A-EF-C的大小.

Answer 1

解:(1)连结OP.设OP与平面ABCD所成角为α,则α∈［,］.

当P是线段EF的中点时,OP⊥平面ABCD,直线OP与平面ABCD所成的最大角是.

(2)连结AF、FC、OF.

易证FO∥PB,

∴∠AFO是直线BP与FA所成的角.

依题意,在等腰△AFC中,FO⊥AC,△AOF为直角三角形.

∵AD=2,DF=1,∴AF=3.

又AO==1,

∴在Rt△AOF中,sin∠AFO=.

(3)连结AE、EC,则AF=FC=AE=EC=.

取EF的中点P,连结AP、CP,则AP⊥EF,CP⊥EF,

∴∠APC是二面角A-EF-C的平面角.

等腰△AEF≌△CEF,

∴在△APC中,AP=CP=.

又AC=2,∴△APC是直角三角形,且∠APC=.

∴二面角A-EF-C的大小是.