题目内容
已知定点A（0，a），B（0，b），（a＞b＞0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值．分析：根据题目所给的条件，用直线和圆的位置关系，确定点的位置，由正弦定理得，当圆与X轴相切时，要求的角最大，写出角的正切值，不是特殊角，用反三角函数来表示．
解答：解：设点C的坐标是（x，0），
在三角形ABC中，根据正弦定理知：
sinACB=
其中R是三角形ABC外接圆的半径，
当R最小时，角最大，
在过A与B定点的圆中当且仅当C是圆与X轴相切时，半径最小，
∴切点C即为所求，
由切割线定理知OC2=OA•OB=ab，
∴OC=
即点C坐标为（
，0）时
∠ACB=arctan
．
在三角形ABC中，根据正弦定理知：
sinACB=
| a-b |
| 2R |
其中R是三角形ABC外接圆的半径，
当R最小时，角最大，
在过A与B定点的圆中当且仅当C是圆与X轴相切时，半径最小，
∴切点C即为所求，
由切割线定理知OC2=OA•OB=ab，
∴OC=
| ab |
即点C坐标为（
| ab |
∠ACB=arctan
| a-b | ||
2
|
点评：认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．
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