Question

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．

   （Ⅰ）若，，求四面体的体积；

   （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer 1

（本题12分）

   （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，

即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.

在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，

由勾股定理易知

故四面体ABCD的体积

   （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.

    设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，

    故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

设

在

从而

因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，

又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

显然向量是平面ABC的法向量.

已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量，

使得

设点B的坐标为，有

易知与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点B的坐标为所以

从而

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为