Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[-6，-

2

3

]时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的值．

Answer 1

分析：（1）由图象知A=2，T=8，从而可求得ω，继而可求得φ；
（2）利用三角函数间的关系可求得y=f（x）+f（x+2）=2

2

cos

π

4

x，利用余弦函数的性质可求得x∈[-6，-

2

3

]时y的最大值与最小值及相应的值．

解答：解：（1）由图象知A=2，T=8．
∴T=

2π

ω

=8．
∴ω=

π

4

．
图象过点（-1，0），则2sin（-

π

4

+φ）=0，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，于是有f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin（

π

4

x+

π

2

+

π

4

）
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）
=2

2

sin（

π

4

x+

π

2

）
=2

2

cos

π

4

x．
∵x∈[-6，-

2

3

]，
∴-

3

2

π≤

π

4

x≤-

π

6

．
当

π

4

x=-

π

6

，即x=-

2

3

时，y_max=

6

；
当

π

4

x=-π，即x=-4时，y_min=-2

2

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．