Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₂，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=

2Sn

2n-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：2T_n-9b_n-1+18＞

64bn

(n+9)bn+1

（n＞1）．

Answer 1

分析：（1）由题意知，（a₁+d）²=a₁（a₁+6d），由此能够推出S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=n+2n（n-1）=2n²-n．
（2）证明：由题设条件可以推出{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以T_n=

n(2+2n)

2

=n²+n，由此入手能够得到2Tn-9bn-1+18＞

64bn

(n+9)bn+1

(n＞1)．

解答：解：（1）∵a₁，a₂，a₇成等比数列，
∴a₂²=a₁•a₇，即（a₁+d）²=a₁（a₁+6d），
又a₁=1，d≠0，∴d=4．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=n+2n（n-1）=2n²-n．
（2）证明：由（1）知b_n=

2Sn

2n-1

=

2n(2n-1)

2n-1

=2n，
∴{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴T_n=

n(2+2n)

2

=n²+n，
∴2T_n-9b_n-1+18=2n²+2n-18（n-1）+18
=2n²-16n+36=2（n²-8n+16）+4=2（n-4）²+4≥4，当且仅当n=4时取等号．①

64bn

(n+9)bn+1

=

64×2n

(n+9)×2(n+1)

=

64n

n2+10n+9

=

64

n+ 9 n +10

≤

64

6+10

=4.
当且仅当n=

9

n

即n=3时，取等号．②
∵①②中等号不能同时取到，∴2Tn-9bn-1+18＞

64bn

(n+9)bn+1

(n＞1)．

点评：本题考查数列的性质和运算，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．