Question

（2013•怀化三模）已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

，数列{c_n}的前n项和为S_n，其中n∈N^*，证明：

5

16

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由数列{a_n}满足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，数列是正项数列，可得2a_n-a_n+1=0，进而得到数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由数列c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

为正项数列，故n=1时，S_n取最小值

5

16

，利用放缩法，求出S_n的最大值，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵a² _n+1=2a²_n+a_na _n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
∵数列是正项数列，
∴a_n+1+a_n≠0，即2a_n-a_n+1=0
∴

an+1

an

=2
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2
即数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
证明：（Ⅱ）c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＞0
∴当n=1时，S_n取最小值

5

16

，
当n≥2时，n²＞2，c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)•2n+2

＜

1

2n+1

∴S_n＜

1 4

1- 1 2

=

1

2

故

5

16

≤Sn＜

1

2

．

点评：本题考查的知识点是数列的通项公式，数列求和，是数列与不等式的综合应用，综合性强，运算难度大，属于难题．