Question

用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．

Answer 1

分析：①若AD=

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BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°，与题设矛盾．②若AD＞

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BC，由BD=DC=

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BC，
三角形由大边对大角可得∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD，由此推出∠B+∠C＞∠BAC，进一步推出∠BAC＜90°，与已知矛盾．从而得到假设AD≥

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BC不正确，命题得证．

解答：如图：已知在△ABC中，∠A＞90°，D是BC中点．求证：AD＜

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BC．
证明：假设AD≥

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BC．
①若AD=

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BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°，与题设矛盾．∴AD≠

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BC．
②若AD＞

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BC，∵BD=DC=

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BC，
∴在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD．
∴∠B+∠C＞∠BAD+∠CAD，即∠B+∠C＞∠BAC．
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∴180°-∠BAC＞∠BAC，
则∠BAC＜90°，与已知矛盾．
由①②知AD＜

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BC．

点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题．