Question

【题目】已知椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．

1求椭圆C的方程；

2是否存在直线l，使得直线l与椭圆C交于M，N两点，且椭圆C的右焦点F恰为的垂心三条高所在直线的交点？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）因为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，所以，又因为离心率为，可求出，的值，得到椭圆方程．

（2）先假设存在直线与椭圆交于、两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用若为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设方程为，代入椭圆方程，由已知条件能求出结果．

解：1椭圆的离心率为，它的一个顶点A与抛物线的焦点重合．

抛物线的焦点坐标为，

由已知得，再由，

解得，

椭圆方程为．

2设，，，，

，是垂心，

设MN的方程为，

代入椭圆方程后整理得：

，

将代入椭圆方程后整理得：，

，是垂心，，

，，，

整理得：，

，

或舍

存在直线l，其方程为使题设成立．