题目内容
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=
，n∈N*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．
| nSn |
| n2+c |
（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N*）；
（2）若{bn}是等差数列，证明：c=0．
证明：（1）若c=0，则an=a1+（n-1）d，Sn=
，bn=
=
．
当b1，b2，b4成等比数列时，则b22=b1b4，
即：(a+
)2=a(a+
)，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=
=
=
=
-
． ①
若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
=0，即c
=0，而
≠0，
故c=0．
经检验，当c=0时{bn}是等差数列．
| n[(n-1)d+2a] |
| 2 |
| nSn |
| n2 |
| (n-1)d+2a |
| 2 |
当b1，b2，b4成等比数列时，则b22=b1b4，
即：(a+
| d |
| 2 |
| 3d |
| 2 |
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=
| nSn |
| n2+c |
n2
| ||
| n2+c |
=
n2
| ||||||
| n2+c |
=
| (n-1)d+2a |
| 2 |
c
| ||
| n2+c |
若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：
c
| ||
| n2+c |
| (n-1)d+2a |
| 2 |
| (n-1)d+2a |
| 2 |
故c=0．
经检验，当c=0时{bn}是等差数列．
练习册系列答案
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