Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且-1，S_n，a_n+1成等差数列，n∈N^*，a₁=1．函数f（x）=log₃^x．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足b_n=

1

(n+3)[f(an)+2]

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与

5

12

-

2n+5

312

的大小．

Answer 1

分析：（I）依题意可求得

an+1

an

=3（ n≥2），再由2S₁=2a₁=a₂-1，a₁=1即可求得{a_n}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）依题意可求得b_n=

1

2

（

1

n+1

-

1

n+3

），利用累加法可求得T_n，从而通过分类讨论即可比较T_n与

5

12

-

2n+5

312

的大小．

解答：解：（I）∵-1，S_n，a_n+1成等差数列，
∴2S_n=a_n+1-1①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=3．
当n=1时，由①得2S₁=2a₁=a₂-1，又a₁=1，
∴a₂=3，故

a2

a1

=3．
∴{a_n}是以1为首项3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1…（7分）
（II）∵f（x）=log₃^x，
∴f（a_n）=log₃a_n=log33n-1=n-1，
b_n=

1

(n+3)[f(an)+2]

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

n+1

-

1

n+3

），
∴T_n=

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n+1

-

1

n+3

）]
=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）
=

5

12

-

2n+5

2(n+2)(n+3)

…（9分）
比较T_n与

5

12

-

2n+5

312

的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）
2（n+2）（n+3）-312=2（n²+5n+6-156）=2（n²+5n+-150）=2（n+15）（n-10），
∵n∈N^*，
∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T_n＜

5

12

-

2n+5

312

；
当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T_n=

5

12

-

2n+5

312

；
当n＞10且n∈N^*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T_n＞

5

12

-

2n+5

312

．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，突出考查裂项法求和，着重考查分类讨论思想与转化思想的综合应用，属于难题．