Question

已知函数f（x）=2x²+（x-a）²．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（log₂x）＞f（3）；
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上有最小值9，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=0时，求得f（x）和f（3），代入不等式可得：log22x＞9，即log₂x＞3或log₂x＜-3．由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）f（x）=3x²-2ax+a²，对称轴为x=

a

3

，再分①当

a

3

≤0时、②当0＜

a

3

＜1时、③当

a

3

≥1时，分别利用函数的单调性求得a的值，综合可得结论．

解答：解：（Ⅰ）当a=0时，可得f（x）=3x²，f（3）=27，代入不等式可得：log22x＞9，
即log₂x＞3或log₂x＜-3．
解得：x＞8，或0＜x＜

1

8

，
所以解集为 {x|x＞8，或0＜x＜

1

8

 }．
（Ⅱ）f（x）=3x²-2ax+a²，对称轴为x=

a

3

，
①当

a

3

≤0时，即a≤0，f(x)min=f(0)=a2=9，
解得a=-3，或a=3（舍去）．
②当0＜

a

3

＜1时，即0＜a＜3，f(x)min=f(

a

3

)=

2

3

a2=9，
解得a=±

3 6

2

（舍），
③当

a

3

≥1时，即a≥3，f(x)min=f(1)=3-2a+a2=9，
解得a=1+

7

，或a=1-

7

（舍去）   
 综上：a=-3，或a=1+

7

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．