Question

已知函数f(x)=cos

x

4

•cos(

π

2

-

x

4

)•cos(π-

x

2

)
（1）将函数f（x）的解析式化简；
（2）若将函数f（x）在（0，+∞）的所有极值点从小到大排成一数列记为{a_n}，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若令bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式及正弦的二倍角公式即可函数f（x）的解析式化简；
（2）由（1）知，f′（x）=-

1

4

cosx，由f′（x）=0可求得极值点从小到大依次为：

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…

(2n-1)π

2

，于是可得数列{a_n}的通项公式；
（3）由（2）知a_n=

(2n-1)π

2

，利用裂项法可求得b_n=

2

π2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），从而可求数列{b_n}前n项和T_n．

解答：解：（1）f（x）=cos

x

4

sin

x

4

（-cos

x

2

）=-

1

2

sin

x

2

cos

x

2

=-

1

4

sinx．
（2）由（1）知，f′（x）=-

1

4

cosx，
令f′（x）=0得：cosx=0，
∴x=kπ+

π

2

，k∈Z．
又x＞0，
∴极值点从小到大排列依次为：

π

2

，

3π

2

，

5π

2

，…

(2n-1)π

2

，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=

(2n-1)π

2

．
（3）由（2）知，b_n=

1

(2n-1)π 2 • (2n+1)π 2

=

4

π2

•

1

(2n-1)(2n+1)

=

2

π2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

2

π2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

2

π2

（1-

1

2n+1

）=

4n

π2(2n+1)

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查函数极值点的应用，突出考查数列的裂项法求和，考查转化思想与综合应用能力，属于难题．