题目内容
已知函数f(x)=2cosxsin(
+x)-
sin2x+
sin2x
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）向右平移m个单位（m＞0）使得图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）若f(x0)=
，x0∈[
，
]，求cos2x0的值．
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）向右平移m个单位（m＞0）使得图象关于y轴对称，求m的最小值；
（3）若f(x0)=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+
)，由2kπ+
≤2x+
≤
+2kπ求出x的范围，即得f（x）的单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换求出g（x）的解析式为2sin(2x+
-2m)，令
-2m=kπ+
，k∈Z，
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 f(x0)=
=2sin(2x0+
)，解出2sin(2x0+
)的值，并根据2x0+
∈[
，
]，求出cos（2x0+
） 的值，由cos2x0=cos[（2x0+
）-
]利用两角差的余弦公式求得结果．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（2）利用函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换求出g（x）的解析式为2sin(2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
及m＞0，求出m的最小值．
（3）由 f(x0)=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(
+x)-
sin2x+
sin2x=2cosx（
cosx+
sinx）-
sin2x+
sin2x
=
cos2x+sin2x=2sin(2x+
)．
由2kπ+
≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，解得 kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
（2）f（x）右移m个单位后，得到函数为g(x)=2sin[2(x-m)+
]=2sin(2x+
-2m)，由于图象关于y轴对称，
∴
-2m=kπ+
，k∈Z．∴m=-
-
．
∵m＞0，∴k=-1时，mmin=
．
（3）∵f(x0)=
=2sin(2x0+
)，∴sin(2x0+
)=
，又x0∈[
，
]，
故2x0+
∈[
，
]，故cos（2x0+
）=-
．
cos2x0=cos[（2x0+
）-
]=cos（2x0+
）cos
+sin（2x0+
）sin
=
．
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 3 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（2）f（x）右移m个单位后，得到函数为g(x)=2sin[2(x-m)+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∵m＞0，∴k=-1时，mmin=
| 5π |
| 12 |
（3）∵f(x0)=
| 6 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
故2x0+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
cos2x0=cos[（2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 10 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．
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