题目内容
已知函数f（x）=
是奇函数，且f（2）=
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并应用单调性的定义加以证明．
| px2+2 |
| 3x+q |
| 5 |
| 3 |
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并应用单调性的定义加以证明．
分析：（Ⅰ）由题意可得f（-x）+f（x）=0，求得q的值．再由f（2）=
=
，求得p的值．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
（x+
），函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．
| 5 |
| 3 |
| p•22+2 |
| 6+0 |
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得f（-x）+f（x）=0，即
+
=0，求得 q=0．
再由f（2）=
=
，解得 p=2．
综上可得，p=2，q=0．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
=
（x+
），函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
证明：设x1＜x2＜-1，则f（x1）-f（x2）=
[（x1+
）-（x2+
）]=
（x1-x2）（
）．
由题设可得 （x1-x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）-f（x2）＜0，
故函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
| px2+2 |
| q-3x |
| px2+2 |
| q+3x |
再由f（2）=
| 5 |
| 3 |
| p•22+2 |
| 6+0 |
综上可得，p=2，q=0．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=
| 2x2+2 |
| 3x |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x |
证明：设x1＜x2＜-1，则f（x1）-f（x2）=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| 3 |
| x1•x2-1 |
| x1•x2 |
由题设可得 （x1-x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）-f（x2）＜0，
故函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质应用，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．
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