Question

已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a²+b²=1,求证:|f(x)|≤.

Answer 1

证法一:|f(x)|≤≤f(x)≤f(x)_min≥且f(x)_max≤.

若a＞0,则f(x)_max=f(1)=a+b≤,

f(x)_min=f(-1)=-a+b≥.

若a=0,则f(x)=b且b²=1,

∴|f(x)|≤.

若a＜0,则f(x)_max=f(-1)=-a+b≤,

f(x)_min=f(1)=a+b≥.

综上,知不等式成立.

证法二:|f(x)|²-()²=(ax+b)²-2(a²+b²)=a²x²+b²+2abx-2(a²+b²)≤a²+b²+2abx-2(a²+b²)=2abx-a²-b²≤2abx-a²x²-b²=-(ax-b)²≤0,

∴|f(x)|≤.