Question

如图：已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁D；
（2）求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥平面A₁B₁BA，A₁B平面A₁B₁BA，
∴A₁B⊥AD．                
又A₁B⊥B₁ A，B₁A∩AD=A，
∴A₁B⊥平面AB1D．            
（2）在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，连接B₁D．
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．              
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF平面A₁ADD₁，
∴CD⊥AF．
∵点F为A₁D的中点，∴AF⊥A₁D，⊥AF⊥平面A₁B₁CD．    
∵AC⊥B1D，∴B₁D⊥平面AFC．
∵B₁D平面A₁B₁CD，∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC