题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值．
【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，
．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
，得
．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=1，∴所求椭圆方程为
．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，
．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
，得
．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴
，
．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
=
=
=
=
=
．
当且仅当
，即
时等号成立．当k=0时，
，
综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，
．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知
，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）当AB⊥x轴时，
．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，
∴
，．∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2
=
=
=
=
=
．当且仅当
，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点
．
，求点Q的轨迹方程．
（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）