题目内容
设函数
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（1，+∞）上为减函数．
解：（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故定义域为{x|x≠1}
∵，由于x-1≠0，
故
故
，
∴的值域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）证明：在（1，+∞）上任取两个值x1，x2且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（
）-（ 
）
=
∵1＜x1＜x2
∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．
分析：（Ⅰ）求f（x）的定义域可令分母x-1≠0求解；根据函数的定义域即可求得函数的值域；
（Ⅱ）要用函数的单调性的定义来证明函数是一个减函数，首先取两个具有大小关系的变量，利用这两个自变量的函数值相减，把最后结果整理成因式乘积的形式，判断差和0的关系．
点评：本题考查函数单调性的证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法，同时考查运算能力，属中档题．
∵
，由于x-1≠0，故
故
，∴
的值域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；（Ⅱ）证明：在（1，+∞）上任取两个值x1，x2且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（
）-（ ）=
∵1＜x1＜x2
∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在（1，+∞）上是减函数．
分析：（Ⅰ）求f（x）的定义域可令分母x-1≠0求解；根据函数的定义域即可求得函数的值域；
（Ⅱ）要用函数的单调性的定义来证明函数是一个减函数，首先取两个具有大小关系的变量，利用这两个自变量的函数值相减，把最后结果整理成因式乘积的形式，判断差和0的关系．
点评：本题考查函数单调性的证明以及函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法，同时考查运算能力，属中档题．
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